Tutorial 1 ans

Topics: Force, The Spring, Trigraph Pages: 21 (1589 words) Published: October 13, 2013
Tutorial 1 ‐ Question 1
Tutorial 1 Question 1
• A heavy table is supported by flat steel legs. Its natural period  in horizontal oscillation is 0.4s. When a 30‐kg plate is clamped  to its surface, the natural period in the oscillation is increased  to its surface the natural period in the oscillation is increased to 0.5s. What is the effective spring constant and the mass of  the table? 

• [Steidel, Problem 2.8, page 49]

MP3002/MP4012 Mechanics of 
MP3002/MP4012 Mechanics of
Deformable Solids
Tutorial 1:  Free Vibration
Tutorial 1: Free Vibration
by Force Method

1

2

Solution to Question 1

… Solution to Question 1

• This question shows the dependence of natural frequency on  mass.  Let us write equation of motion  (EOM) for both cases mass Let us write equation of motion (EOM) for both cases

• Let us relate the measured natural period of oscillation to the  derived theory for natural frequency.
derived theory for natural frequency

• Case (a) has the EOM being

mx  kx  0

• Natural period of Case (a) is

– Obtained by force balance

• Case (b) has the EOM being
(m  30k )   k  0
30kg) x kx

1
m
1
m  30k
30kg
 2
 b  0.5s=  2
fa
k
fb
k
• C
Comparing the two measured natural period yields:
i th t
d t l
i d i ld
a 
m 1
k
m


   2
k 2 m  30k
30kg
m  30k
30kg
 b 
• Solving for the table mass m from the relationship above yields 2
0.82
   2 
  a   m   0 8  30kg=53.3kg


a

2
1     m  30kg  
1  0.8 
b  
b 

 



 a  0.4s=

– Because of added 30‐kg mass

• Its natural frequency is
q
y
1 k
fa 
2 m

• Natural period of Case (b) is

• Its natural frequency reduces to
Its natural frequency reduces to
1
k
fb 
2 m  30kg

m
x
k

3

The table mass is calculated from the 
added mass and ratio of period

4

… Solution to Question 1
Solution to Question 1

Tutorial 1: Question 2
Tutorial 1: Question 2

1
m
 2
fa
k

• From the formula of period
of case (a)

 a  0.4s=

• The stiffness is derived as 

k  m  2 f a 

2

 2 
 m

 a 

• A new model car is suspended as a pendulum, using  inextensible cables attached to the front and rear axles. With  the projected length of cable l=4.6m, the period of swinging  the projected length of cable l=4 6m the period of swinging

oscillation is 4.3s. By shortening the length l=2.6m, the period  decreases to 3.3s. Determine the distance h from the wheel  axles to the car center of gravity.
• [Steidel, Problem 2.38, page 66]

2

• Substitution of the measured period a and calculated table  mass, value of the stiffness is calculated as 
l
f h
ff
l l d
m
 2 
k  30kg 
  13138.0 N/m
 0.4s 
2

x
k
5

6

… Solution to Q.2
… Solution to Q.2

Solution to Question 2
Solution to Question 2
• This question shows the dependence of natural frequency on  q
p
q
y
moment of inertia, which is in turn related to the location of  the center of gravity through the parallel axis theorem. • In this case, the car is suspended such that the pivot of cable  suspension passes through the car center of gravity (CG)  • As the car swings, the CG is perturbed off the initial vertical by  an angular displacement θ

• As the distance between the CG and the pivot point is  p
p
changed from l1h to l2h, the natural period of oscillation  changed from 1 to  2.
• The moment of inertia about pivot changes as following

• Case 1
Case 1

J 1  J CG  m  l1  h 

l1

l
CG



CG

h

1
CG

7



CG

• Case 2
Case 2

J 2  J CG  m  l2  h 

2

h

l2

2
CG



CG

2

h

8

… Solution to Q. 2
Solution to Q 2

… Solution to Q. 2
Solution to Q 2
• The two cases differ in natural period
• Difference in moment of inertias  between the two cases can  be expressed in terms of natural periods

•...
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