Metodo Simplex

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  • Topic: Conocimiento, Uno, One seg
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APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL Adriel R. Collazo Pedraja

2 INTRODUCCIÓN Este trabajo tiene como propósito proveer ayuda al estudiante para que pueda comprender y manejar más efectivamente el método símplex de programación lineal. Ilustraremos la aplicación a situaciones de maximización, minimización y análisis de sensibilidad. El Método Símplex como herramienta de programación lineal fue desarrollado para la época de los años cuarenta por George Dantzing, un joven matemático. El método constituye una forma sistemática y de búsqueda intensiva a través de todas las posibles soluciones para obtener una solución óptima. Ello resulta de gran utilidad debido a su eficiencia. Además es fácil programarlo en una computadora. En contraste con el análisis gráfico, este método permite el uso de muchas variables. También permite la aplicación de cantidades de restricciones lineales con signos; mayores e igual, menores e igual y de igualdad. En comparación con el método gráfico, el método símplex tiene como punto de partida el origen siendo este la solución inicial al problema. El método prueba todos los puntos extremos gráficos aunque no necesariamente se detiene en todos los vértices. Por otro lado utiliza el concepto de álgebra de matrices en una serie de tablones. EL PROBLEMA DE MAXIMIXACIÓN SÍMPLEX FORMULACIÓN INICIAL Utilizando el siguiente ejemplo estableceremos la formulación inicial símplex y demostraremos la mecánica del método y su interpretación. El gerente de la Relojería la Torre desea conocer la ganancia máxima que se puede obtener de la producción y venta de dos clases de relojes económicos digitales de pulsera. La ganancia que se obtiene por la producción y venta de un reloj de hombre es de $4 y de $6 para un reloj de mujer. La empresa cuenta con 120 horas semanales para la producción de los relojes y 100 horas para la inspección y empaque de estos. La fabricación de un reloj de hombre requiere 2 horas de producción y 2 horas de inspección y empaque. Mientras que un reloj de mujer requiere 4 horas de producción y 3 horas de inspección y empaque. La formulación del problema para esta situación es la siguiente: Maximizar Z = $4X1 + $6X2 Sujeto a: 2X1 + 4X2 ≤ 120 (horas de producción) 2X1 + 3X2 ≤ 100 (horas de inspección y empaque) (X1, X2 ≥ 0) Donde X1 = cantidad de relojes de hombre que se producen semanalmente. X2 = cantidad de relojes de mujer que se producen semanalmente.

3 Luego de formular el problema procedemos a trabajar primero con las restricciones y luego con la función objetivo. Comenzamos cambiando los signos de las restricciones de desigualdades a igualdades. El método símplex requiere la conversión de las restricciones con signos de desiguales a igualdades estrictas. Esto se debe a que el método usa álgebra de matrices en donde todas las relaciones matemáticas serán a base de ecuaciones lineales y que a su vez deben contener todas las variables. Llamaremos a este procedimiento como aumento de las restricciones y de la función objetivo. AUMENTO DE LAS RESTRICCIONES Y DE LA FUNCIÓN OBJETIVO El aumento de las restricciones y de la función objetivo surge porque el método símplex comienza por definición en el origen es decir en el punto (0,0) y de este punto al valor de las restricciones existe una diferencia. Esta diferencia se conoce como holgura y por cada restricción que tenga el problema tendremos una o más variables las cuales el método tomará en consideración. Comencemos con la primera restricción: 2X1 + 4X2 ≤ 120 (horas de producción) Al analizar la restricción hallamos que el lado izquierdo es menor que el lado derecho. Para poder hacer el cambio de la desigualdad a igualdad tendremos que añadir una variable que absorba la diferencia entre ambos lados. En este caso la variable representa recursos no utilizados o recursos disponibles. Esta variable se conoce como variable de holgura o "Slack". La primera restricción se reformula asignándole una variable de holgura positiva...
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