# Pythogerm Triples

Topics: Pythagorean theorem, Pythagorean triple, Euclidean algorithm Pages: 39 (8367 words) Published: April 15, 2015
Anmol Mehrotra

Pythagorean triples
Math Bonus

A ​
Pythagorean triple​
consists of three positive​
​
integers​
​
a​
, ​
b​
, and ​
c​
, such
2​
2​
2​
that ​
a​
+ ​
b​
= ​
c​
. Such a triple is commonly written (​
a​
, ​
b​
, ​
c​
), and a
well­known example is (3, 4, 5). If (​
a​
, ​
b​
, ​
c​
) is a Pythagorean triple, then so
is (​
ka ​
, ​
kb​
, ​
kc​
) for any positive integer ​
k​
. A ​
primitive Pythagorean triple​
is
one in which ​
a​
, ​
b​
and ​
c​
are​
​
coprime​
. A right triangle whose sides form a
Pythagorean triple is called a ​
Pythagorean triangle​

The name is derived from the​
​
Pythagorean theorem​
, stating that every
right triangle​
has side lengths satisfying the formula ​
a2​

+ ​
b2​

= ​
c2​

; thus,
Pythagorean triples describe the three integer side lengths of a right  triangle. However, right triangles with non­integer sides do not form  Pythagorean triples. For instance, the​
​
triangle​
with sides ​
a​
= ​
b​
= 1 and ​
c​
=
√2 is right, but (1, 1, √2) is not a Pythagorean triple because √2 is not an  integer. Moreover, 1 and √2 do not have an integer common multiple  because √2 is​
​
irrational​

Examples[​
edit​

A​
scatter plot​

of the legs (​
a​
,​
b​
) of the Pythagorean triples with ​
c​
less
than 6000. Negative values are included to illustrate the parabolic patterns in the plot more clearly.​
Contents

There are 16 primitive Pythagorean triples with ​
c​
≤ 100:
(3, 4, 5)
(5, 12,
(8, 15,
(7, 24,
13)
17)
25)
(20, 21,
(12, 35,
(9, 40,
(28, 45,
29)
37)
41)
53)
(11, 60,
(16, 63,
(33, 56,
(48, 55,
61)
65)
65)
73)
(13, 84,
(36, 77,
(39, 80,
(65, 72,
85)
85)
89)
97)
Note, for example, that (6, 8, 10) is ​
not​
a primitive Pythagorean triple, as it
is a multiple of (3, 4, 5). Each one of these low­c points forms one of the  more easily recognizable radiating lines in the scatter plot.  Additionally these are all the primitive Pythagorean triples with 100  ≤
300:
(20, 99,
(60, 91,
(15, 112,
(44, 117,
101)
109)
113)
125)
(88, 105,
(17, 144,
(24, 143,
(51, 140,
137)
145)
145)
149)
(85, 132,
(119, 120,
(52, 165,
(19, 180,
157)
169)
173)
181)
(57, 176,
(104, 153,
(95, 168,
(28, 195,
185)
185)
193)
197)
(84, 187,
(133, 156,
(21, 220,
(140, 171,
205)
205)
221)
221)
(60, 221,
(105, 208,
(120, 209,
(32, 255,
229)
233)
241)
257)
(23, 264,
(96, 247,
(69, 260,
(115, 252,
265)
265)
269)
277)

(160, 231,
281)

(161, 240,
289)

(68, 285,
293)

Generating a triple[​
edit​

Main article:​
​
Formulas for generating Pythagorean triples

The primitive Pythagorean triples. The odd leg ​
a​
is plotted on the
horizontal axis, the even leg ​
b​
on the vertical. The curvilinear grid is
composed of curves of constant ​
m​
­ ​
n​
and of constant ​
m​
+ ​
n​
in Euclid's
formula.

A plot of triples generated by Euclid's formula map out part of the ​ z2​

= ​
x2​

+
2​
y​
cone. A constant ​
m​
or ​
n​
traces out part of a​
​
parabola​
on the cone.

​
Euclid's formula​
is a fundamental formula for generating Pythagorean  triples given an arbitrary pair of positive integers ​ m​
and ​
n​
with ​
m​
> ​
n​
. The
formula states that the integers

form a Pythagorean triple. The triple generated by​  ​
Euclid​
's formula is
primitive if and only if ​
m​
and ​
n​
are​
​
coprime​
and ​
m​
− ​
n​
is odd. If both ​

and ​
n​
are odd, then ​
a​
, ​
b​
, and ​
c​
will be even, and so the triple will not be
primitive; however, dividing ​
a​
, ​
b​
, and ​
c​...

Please join StudyMode to read the full document