Pythogerm Triples

Topics: Pythagorean theorem, Pythagorean triple, Euclidean algorithm Pages: 39 (8367 words) Published: April 15, 2015
Anmol Mehrotra  
 

Pythagorean triples 
Math Bonus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

A ​
Pythagorean triple​
 consists of three positive​
 ​
integers​
 ​
a​
, ​
b​
, and ​
c​
, such 
2​
2​
2​
that ​
a​
 + ​
b​
 = ​
c​
. Such a triple is commonly written (​
a​
, ​
b​
, ​
c​
), and a 
well­known example is (3, 4, 5). If (​
a​
, ​
b​
, ​
c​
) is a Pythagorean triple, then so 
is (​
ka ​
, ​
kb​
, ​
kc​
) for any positive integer ​
k​
. A ​
primitive Pythagorean triple​
 is 
one in which ​
a​
, ​
b​
 and ​
c​
 are​
 ​
coprime​
. A right triangle whose sides form a 
Pythagorean triple is called a ​
Pythagorean triangle​

The name is derived from the​
 ​
Pythagorean theorem​
, stating that every 
right triangle​
 has side lengths satisfying the formula ​
a2​

 + ​
b2​

 = ​
c2​

; thus, 
Pythagorean triples describe the three integer side lengths of a right  triangle. However, right triangles with non­integer sides do not form  Pythagorean triples. For instance, the​
 ​
triangle​
 with sides ​
a​
 = ​
b​
 = 1 and ​
c​
 = 
√2 is right, but (1, 1, √2) is not a Pythagorean triple because √2 is not an  integer. Moreover, 1 and √2 do not have an integer common multiple  because √2 is​
 ​
irrational​

 
Examples[​
edit​


 

A​
scatter plot​

of the legs (​
a​
,​
b​
) of the Pythagorean triples with ​
c​
less
than 6000. Negative values are included to illustrate the parabolic patterns in the plot more clearly.​
Contents 
 
There are 16 primitive Pythagorean triples with ​
c​
 ≤ 100: 
(3, 4, 5) 
(5, 12, 
(8, 15, 
(7, 24, 
13) 
17) 
25) 
(20, 21, 
(12, 35, 
(9, 40, 
(28, 45, 
29) 
37) 
41) 
53) 
(11, 60, 
(16, 63, 
(33, 56, 
(48, 55, 
61) 
65) 
65) 
73) 
(13, 84, 
(36, 77, 
(39, 80, 
(65, 72, 
85) 
85) 
89) 
97) 
Note, for example, that (6, 8, 10) is ​
not​
 a primitive Pythagorean triple, as it 
is a multiple of (3, 4, 5). Each one of these low­c points forms one of the  more easily recognizable radiating lines in the scatter plot.  Additionally these are all the primitive Pythagorean triples with 100  ≤ 
300: 
(20, 99, 
(60, 91, 
(15, 112, 
(44, 117, 
101) 
109) 
113) 
125) 
(88, 105, 
(17, 144, 
(24, 143, 
(51, 140, 
137) 
145) 
145) 
149) 
(85, 132, 
(119, 120, 
(52, 165, 
(19, 180, 
157) 
169) 
173) 
181) 
(57, 176, 
(104, 153, 
(95, 168, 
(28, 195, 
185) 
185) 
193) 
197) 
(84, 187, 
(133, 156, 
(21, 220, 
(140, 171, 
205) 
205) 
221) 
221) 
(60, 221, 
(105, 208, 
(120, 209, 
(32, 255, 
229) 
233) 
241) 
257) 
(23, 264, 
(96, 247, 
(69, 260, 
(115, 252, 
265) 
265) 
269) 
277) 

(160, 231, 
281) 

(161, 240, 
289) 

(68, 285, 
293) 

 

Generating a triple[​
edit​

Main article:​
 ​
Formulas for generating Pythagorean triples 

 
The primitive Pythagorean triples. The odd leg ​
a​
 is plotted on the 
horizontal axis, the even leg ​
b​
 on the vertical. The curvilinear grid is 
composed of curves of constant ​
m​
 ­ ​
n​
 and of constant ​
m​
 + ​
n​
 in Euclid's 
formula. 

 
A plot of triples generated by Euclid's formula map out part of the ​ z2​

 = ​
x2​

 + 
2​
y​
 cone. A constant ​
m​
 or ​
n​
 traces out part of a​
 ​
parabola​
 on the cone. 

[1]​
Euclid's formula​
 is a fundamental formula for generating Pythagorean  triples given an arbitrary pair of positive integers ​ m​
 and ​
n​
 with ​
m​
 > ​
n​
. The 
formula states that the integers 

 
form a Pythagorean triple. The triple generated by​  ​
Euclid​
's formula is 
primitive if and only if ​
m​
 and ​
n​
 are​
 ​
coprime​
 and ​
m​
 − ​
n​
 is odd. If both ​

and ​
n​
 are odd, then ​
a​
, ​
b​
, and ​
c​
 will be even, and so the triple will not be 
primitive; however, dividing ​
a​
, ​
b​
, and ​
c​...
Continue Reading

Please join StudyMode to read the full document

You May Also Find These Documents Helpful

  • Pythagorean Triples Essay
  • Pythagorean Triples Essay
  • Essay about Pythagorean Triples
  • Triple Alliance Essay
  • Triple bottom line Essay
  • Sustainability and the Triple Bottom Line Essay
  • The Triple alliance and The Triple Entrente Essay
  • Triple Bottom Line Theory Essay

Become a StudyMode Member

Sign Up - It's Free