Nonlinear Programming

Only available on StudyMode
  • Topic: Derivative, Convex function, Mathematical analysis
  • Pages : 8 (769 words )
  • Download(s) : 161
  • Published : October 7, 2012
Open Document
Text Preview
• It is easy to use the Excel Solver to solve NLPs. • The process is similar to a linear model.
• For NLPs having multiple local optimal 
solutions, the Solver may fail to find the 
optimal solution because it may pick a local 
extremum that is not a global extremum.

22

Example 2
• Trucko is trying to determine where they should locate a  single warehouse. The positions in the x‐y plane of their four  customers and the number of shipments made annually to  each customer are given. Trucko wants to locate the  warehouse to minimize the total distance trucks must travel  annually  from the warehouse to the four customers.  Customer

X‐coordinate

Y‐coordinate 

Number of 
Shipments

1

5

10

200

2

10

5

150

3

0

12

200

4

12

0

300
23

1

Example 3
• Q& H Company advertises on soap operas and football  games. Each soap opera ad costs $50000, and each football  game ad costs $10000. Giving all figures in millions of  viewers, S soap opera ads are bought, they will be seen by  5S men and 20 S women. If F football Ads are bought  they will be seen by 17F men and 7F women. Q&H wants  at least40 million men and at least 60 million women to see  its ads.

• Formulate the NLP
• Suppose the number of women reached by F football ads  and S soap opera ads is 7F+ 20 S ‐0.2 (FS). Why might  this be a more realistic representation of the  number of  women viewers seeing Q&H’s ads?

24

Example 3: cont’d
• Let  S = soap opera ads and
F = football ads. Then we wish to 
min z = 50S + 100F
st 5S1/2 + 17F1/240 (men)
20S1/2 + 7F1/260 (women)
S0, F0

25

2

Review of Differential Calculus
• The equation 

lim f ( x)  c
x a

means that as x gets closer to a (but not equal to  a), the value of f(x) gets arbitrarily close to c.
• A function f(x) is continuous at a point if
lim f ( x)  f (a )
xa

If f(x) is not continuous at x=a, we say that f(x) is  discontinuous (or has a discontinuity) at a.
26

Review of Differential Calculus
• The derivative of a function f(x) at x = a
(written f’(a)] is defined to be 
lim

x  0

f (a  x)  f (a)
x

• The partial derivative of f(x1, x2,…,xn) with 
respect to the variable xi is written
f
, where
xi
f ( x1 ,..., xi  xi ,..., xn )  f ( x1 ,..., xi ,...xn ) f
 lim
xi xi 0
xi

27

3

Review of Differential Calculus
• Suppose that for each i, we increase xi by a small  amount Δxi. Then the value of f will increase by 
approximately
in
f
 x xi
i
1

i

• We will also use second‐order partial derivatives  extensively. We use the notation 
2
xi x j

to denote a second‐order partial derivative.

28

Review of Differential Calculus
• The demand f(p,a)=30000p‐2a1/6 for a product 
depends on p=price and a=dollars spent 
advertising the product. 
• Is demand an increasing or decreasing function of  price?
• Is demand an increasing or decreasing function of  advertising expenditure?
• If p=10 and a= 1000000, by how much 
approximately will a $1 cut in price increase the 
demand?
29

4

Review of Differential Calculus
• n‐th order Taylor series expansion
f (i ) (a) i f ( n 1) ( p ) n 1
h
h
i!
(n  1)!
i 1
where h  0 for some p between a and a  h
in

f ( a  h)  f ( a )  

Example: Find first order Taylor expansion for

f ( h)  e  h  e 0 

f ( x)  e  x

at x=0

e0 h e  p h 2
e p h2

 1 h 
1!
2!
2!
30

Convex and Concave Functions
• A function f(x1, x2,…,xn) is a convex function  on a convex set S if for any x’  S and x’’  S

f [cx’+(1‐ c)x’’] ≤ cf(x’)+(1‐c)f(x’’)
holds for 0 ≤ c ≤ 1.
6
5
4
3
2
1
0
‐1

0

1

2

3

4

5

31

5

Convex and Concave Functions
• A function f(x1, x2,…,xn) is a concave function on a  convex set S if for any x’  S and x’’  S  f [cx’+(1‐ c)x’’] ≥ cf(x’)+(1‐c)f(x’’)
holds for 0 ≤ c ≤ 1.
0
‐1

0

1

2

3

4

5

‐1...
tracking img