Operation Research of Mathematical Formulation Hungarian Method Algorithm

Only available on StudyMode
  • Download(s) : 481
  • Published : February 6, 2013
Open Document
Text Preview
Operations Research 

Unit 6 

Unit 6 
Structure 

Assignment Problem 

6.1.  6.2.  6.3.  6.4. 

Introduction  Mathematical formulation of the problem  Hungarian method algorithm  Routing problem  6.4.1. Unbalanced A.P  6.4.2  Infeasible Assignments  6.4.3  Maximization in A.P 

6.5.  6.6. 

Traveling salesmen problem  Summary  Terminal Questions  Answers to SAQs and TQs 

6.1 Introduction  The assignment problem is a special case of the transportation problem, where the objective is to  minimize the cost or time of completing a number of jobs by a number of persons and Maximize  efficiently  Revenue,  sales  etc  In  other  words,  when  the  problem  involves  the  allocation  of  n  different facilities to n different tasks, it is often termed as an assignment problem.  This model is  mostly  used  for  planning.    The  assignment  model  is  also  useful  in  solving  problems  such  as,  assignment of machines to jobs, assignment of salesman to sales territories, traveling salesman  problem etc. It may be noted that with n facilities and n jobs, there are n! possible assignments.  One  way  of  finding  an  optimal  assignment  is  to  write  all  the  n!  possible  arrangement  ,evaluate  their total cost and select the assignment with minimum cost. But because of many computational  procedures  this  method  is  not  possible.  In  this  unit  we  study  an  efficient  method  for  solving  assignment problems.  There are n jobs for a factory and factory has n machines to process the jobs. A job  i(=1,…,n) ,  when  processed  by  machine  j(=1,…,n)  is  assumed  to  incur  a  cost  Cij. The  assignment  is  to  be  made in such a  way that each job can associate  with one and  only one  machine Determine an  assignment of jobs to machines so as to minimize the overall cost.

Sikkim Manipal University 

98 

Operations Research 

Unit 6 

Learning Objectives  After studying this unit, you should be able to understand the following 

1.  At the end of this unit the students formulate a assignment problem Mathematically.  2.  Solves a routing problem.  3.  Analysis a traveling salesman problem.  4.  Know the significance of the assignment problem.  5.  Apply the Hungarian method to solve the problem.  6.  Solve the practical problems like routing problem and traveling salesman problem.  6.2  Mathematical Formulation Of The Problem  Let xij be a variable defined by ì0  if  the  i th  job  is  not  assigned  to  the  j th  machine  ï x  = í ij  th  th  .  ï1 if  the  i  job  is  assigned  to  the  j  machine  î Then, since only one job is to be assigned to each machine we have




xij = 1  and

å

z =

å

xij = 1 

i =1 

xij  cij 

j =1 

Also the total assignment cost is given by 

å å

j =1  i =1 

Thus the assignment problem takes the following mathematical form  Determine  xij  ≥ 0 (i , j =1,…, n)  So as to minimize 


z =

n  j =1 
xij cij 

i =1 

å å

Subject to the constraints



å

xij  = 1                        j =1, 2,…, n

i =1 

Sikkim Manipal University 

99 

Operations Research 

Unit 6 


and

å

xij  = 1                 i = 1, 2,…, n 

j =1 

with  xij = 0 or 1  Note:  In an assignment problem if we add (or subtract) a real number to (from) every element of  a row or column of the cost matrix, then an assignment which is optimum for the modified matrix  is also optimum for the original one.  Self Assessment Questions 1  State True or False 

1.  In A.P the constraints are of equality type.  2.  The no. of facilities should be equal to no. of resources.  3.  The decision variables can take any value.  6.3  Hungarian Method: Algorithm  Step 1: Prepare Row ruled Matrix by selecting the minimum values for each row and subtract it  from other elements of the row  Step  2:   Prepare  column  reduced  Matrix  by  subtracting  minimum value  of  the column from  the  other values of that column ...
tracking img