Advantages of Laplace transformation A Laplace transformation technique reduces the solutions of an ordinary differential equation to the solution of an algebraic equation. When the Laplace transform technique is applied to a PDE, it reduces the number of independent variable by one. With application of Laplace transform, particular solution of differential equation is obtained directly without necessity of first determining general solution.

Periodic Function

A real valued function ������(������) is said to be periodic with period ������ > 0 if for all ������, ������ ������ + ������ = ������(������) , and T is the least of such values. For example, sin ������ and cos ������ are periodic functions with period 2π. tan ������ and cot ������ are periodic functions with period π.

Sectional or Piecewise Continuity

A function is called sectional continuous or piecewise continuous in an interval ������ < ������ < ������, if the interval can be subdivided into a finite number of intervals in each of which the function is continuous and has finite left and right limit.

Function of Exponential Order

If a real constant ������ > 0 and ������ exist such that for all ������ > ������ ������ −������������ ������(������) < ������ or ������(������) < ������������ ������������ we say that ������ ������ is function of exponential order ������ as ������ → ∞.

Theorem : If ������(������) is sectionally continuous in every finite interval 0 ≤ ������ ≤ ������ and exponential order ������ for ������ > ������ then the Laplace transform of ������(������) exist for all ������ > ������

Definition of Laplace transformation

Let ������(������) be a continuous or piecewise continuous and single valued function of the real variable t defined for all t, 0 < ������ < ∞, and is of exponential order. Then the Laplace transform of ������(������) denoted by ������ ������ is defined as ∞

������ ������ ������

= ������ ������ =

0

������ −������������ ������(������)������������

Provided the limit exist. Here s is a parameter, called Laplace transform parameter and L is known as Laplace transform operator.

Laplace Transform of some Elementary Functions

������ ������ ������ ������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������ ������������������ ������������������������ ������������ ������������������������ ������������ ������ ������ ������ , ������ ������! , ������������+������ ������(������+������) ������������+������

������ > 0 ������ > 0, ������ ∈ ������ ������ > 0, ������ > −������ ������ > 0 ������ > 0 ������ > ������ ������ > ������ ������ > ������

,

������������

������ , + ������������ ������ , ������������ + ������������

������ , ������ − ������ ������ , ������ − ������������ ������ ������ , ������ − ������������ ������

Properties of Laplace transformation 1. If C1 and C2 are constants and ������1 (������) and ������2 (������) are Laplace transforms of ������1 (������) and ������2 (������) respectively, then ������ ������1 ������1 ������ +������2 ������2 ������ = ������1 ������1 ������ + ������2 ������2 (������)

2. First transform or shifting property:

If L f t F s , then L eat f t F s a

3. Second transform or shifting property:

f (t a ), If L f t F s and G (t ) 0, t a , t a

then LGt e as F s

1 s 4. Change of Scale...