Mathias Johansson

Master Thesis Mathematics/Applied Mathematics Supervisor: BÄrje Nilsson, VÄxjÄ University. o a o Examiner: BÄrje Nilsson, VÄxjÄ University. o a o

Abstract The information about the Hilbert transform is often scattered in books about signal processing. Their authors frequently use mathematical formulas without explaining them thoroughly to the reader. The purpose of this report is to make a more stringent presentation of the Hilbert transform but still with the signal processing application in mind.

Contents

1 Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 Mathematical motivations for the Hilbert transform : 2.1 The Cauchy integral : : : : : : : : : : : : : : : 2.2 The Fourier transform : : : : : : : : : : : : : : 2.3 The §¼=2 phaseshift : : : : : : : : : : : : : : : 3 Properties of the Hilbert transform : : : : : : : : : : 3.1 Linearity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.2 Multiple Hilbert transforms and their inverses : 3.3 Derivatives of the Hilbert transform : : : : : : : 3.4 Orthogonality properties : : : : : : : : : : : : : 3.5 Energy aspects of the Hilbert transform : : : : : 3.6 The Hilbert transform of strong analytic signals 3.7 Analytic signals in the time domain : : : : : : : 4 Numerical calculations of the Hilbert transform : : : 4.1 Continuous time : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4.1.1 Numerical integration. : : : : : : : : : : 4.1.2 Hermite polynomials : : : : : : : : : : : 4.1.3 Fourier series : : : : : : : : : : : : : : : 4.2 Discrete Fourier transform : : : : : : : : : : : : 5 An application : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A Appendix : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : A.1 Implementation of the Hermite polynomial : : : A.2 Implementation of the Fourier series : : : : : : : A.3 Implementation of the Fourier transform : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 3 7 10 11 11 12 13 14 15 15 17 18 18 18 18 22 22 27 30 30 31 32

1. Introduction

Signal processing is a fast growing area today and a desired e®ectiveness in utilization of bandwidth and energy makes the progress even faster. Special signal processors have been developed to make it possible to implement the theoretical knowledge in an e±cient way. Signal processors are nowadays frequently used in equipment for radio, transportation, medicine and production etc. In 1743 a famous Swiss mathematician named Leonard Euler (1707-1783) derived the formula ejz = cos(z) + j sin(z): 150 years later the physicist Arthur E: Kennelly and the scientist Charles P: Steinmetz used this formula to introduce the complex notation of harmonic wave forms in electrical engineering, that is ej!t = cos(!t) + j sin(!t): Later on, in the beginning of the 20th century, the German scientist David Hilbert (1862-1943) ¯nally showed that the function sin(!t) is the Hilbert transform of cos(!t). This gave us the §¼=2 phase-shift operator which is a basic property of the Hilbert transform. b A real function f(t) and its Hilbert transform f(t) are related to each other in such a way that they together create a so called strong analytic signal. The strong analytic signal can be written with an amplitude and a phase where the derivative of the phase can be identi¯ed as the instantaneous frequency. The Fourier transform of the strong analytic signal gives us a one-sided spectrum in the frequency domain. It is not hard to see that a function and its Hilbert transform also are orthogonal. This orthogonality is not always realized in...