Product of Inertia and Mohr's Circle

Only available on StudyMode
  • Topic: Second moment of area, Perpendicular, Euclidean geometry
  • Pages : 27 (3351 words )
  • Download(s) : 395
  • Published : June 27, 2012
Open Document
Text Preview
5/3/2011

Lecture 1

LECTURE 1 TOPICS
I.  Product of Inertia for An Area
Definition Parallel Axis Theorem on Product of Inertia Moments of Inertia About an Inclined Axes Principal Moments of Inertia Mohr’s Circle for Second Moment of Areas

II.  Unsymmetrical Bending II   Unsymmetrical Bending
Unsymmetrical Bending about the Horizontal and Vertical  Axes of the Cross Section Unsymmetrical Bending about the Principal Axes

1

5/3/2011

Lecture 1, Part 1

Product of Inertia for an Area
Consider the figure shown below
y x A dA y x Product of Inertia of A wrt x and y axis: Product of Inertia of Element dA:

2

5/3/2011

Product of Inertia for an Area
Consider the figure shown below
y x A dA y x Unit:   length4 – m4, mm4, ft4, in4 g NOTE: 1.  Ixy can be positive, negative or zero. 2.  The product of inertia of an area wrt any two orthogonal axes is zero when  either of the axes is an axis of symmetry. Product of Inertia of A wrt x and y axis:

Product of Inertia for an Area
Parallel Axis Theorem Parallel‐Axis Theorem
y’ y x’ Product of Inertia of A wrt x and y axis: dA C dy x dx y’ x’ ’ Product of Inertia of Element dA:

3

5/3/2011

Product of Inertia for an Area
Parallel Axis Theorem Parallel‐Axis Theorem
y’ y x’

dA C dy

y’ x’ ’

x dx

The product of inertia of an area wrt any two perpendicular axes x and y is equal to the product of inertia of the area wrt a pair of centroidal axes parallel to the x and y axes added to the product of the area and the two centroidal distances from the x and y axes.

Product of Inertia for an Area
Example 1
y b

Determine the following: a) Product of Inertia, Ixy

h

x

b) Product of Inertia, Ix’y’ , with ) , xy respect to a pair of centroidal axes x’ and y’ parallel to the given axes x and y

4

5/3/2011

Product of Inertia for an Area
Example 1
y x dA h y x dy b

Solution: a) Product of Inertia, Ixy • Consider the strip ⎛ x⎞ dI xy = ⎜ ⎟ ydA ⎝ 2⎠ • The area, dA, is equal to q dA = x dy • Substituting gives x2 ⎛ x⎞ dI xy = ⎜ ⎟ y ( x dy ) = ydy 2 ⎝ 2⎠

Product of Inertia for an Area
Example 1
y x dA h y x dy b

Solution: a) Product of Inertia, Ixy • But x is a function of y, and using similar triangles b x b ⇒ x= y = h y h • Substitute x to dIxy gives b2 x2 = 2 y 3dy dI xy = ydy 2h 2

5

5/3/2011

Product of Inertia for an Area
Example 1
y x dA h y x dy b

Solution: a) Product of Inertia, Ixy • Integrating I xy = ∫ I xy = I xy = h 0

b2 3 y dy 2h 2

b2 h 3 yd dy 2h 2 ∫0 b2h2 8

Product of Inertia for an Area
Example 1
y’ y b/3

Solution: b) Product of Inertia, Ix’y’ • Parallel Axes Theorem I xy = I x ' y ' + Ad x d y
x’

I x ' y ' = I xy − Ad x d y
I x'y ' = b2h2 8 ⎛ 1 ⎞⎛ b ⎞⎛ 2h ⎞ − ⎜ bh ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠

C 2h/3 x

I x'y' =

b2h2 72

6

5/3/2011

Moments of Inertia about Inclined Axes
Transformation Equations:
y y’’

dA

y

θ

θ

y’

y cosθ

Moments and Product of Inertia  of dA wrt x’ and y’ axes:

x’
x sinθ

x

θ y sinθ

x

x cosθ

x’

Moments of Inertia about Inclined Axes
Expanding and integrating each expression and realizing that 

Gives

These equations may be simplified using the trigonometric identities

7

5/3/2011

Moments of Inertia about Inclined Axes
Which then gives
y y’

A θ

x’
θ

x Moments of Inertia of An Area About  an Inclined Axes x’ and y’ in terms of  Ix, Iy, Ixy and θ

Moments of Inertia about Inclined Axes
Adding the first and second equations
y y’ y’’

A

x’
o

x x’’

The sum (also called the polar  moment of  inertia) Ix’ + Iy’  is a constant. Since sum is constant, Ix’ will be maximum  and the corresponding Iy’ will be minimum  for one particular value of θ.

8

5/3/2011

Principal Moments of Inertia
First Objective:  Determine the orientation of the  axes or angle θ which the moments Ix’ and Iy’ are  maximum or minimum. y’
y

DEFINITION:  1)...
tracking img